이번 챕터에서는 미분방정식 공부 전의 준비 운동으로서 주로 리만 적분의 정의와 Fundamental Theorem of Calculus(FToC)을 포함한 수학 이론들에 대해 주로 다뤄볼 것이다. 이 내용들은 다른 곳에도 매우 많이 사용되니 눈여겨 볼 필요가 있다.
The general first-order differential equation for the function \(y = y( x )\) is defined by \[ \begin{equation} \frac{dy}{dx}=f(x, y) \tag{$*$} \end{equation} \] where \(f(x,y)\) can be a function of the independent variable \(x\) and the dependent variable \(y\).
Although it is not always possible to find an analytical solution of \((*)\) for \(y =y(x)\), it is always possible to determine a unique numerical solution given an initial value \(y( x_0 ) = y_0\).
Note that \((*)\) means the slope \(f(x_0, y_0)\) of the tangent line at the point \((x_0, y_0)\). Define the step size \(\Delta x = x_1 − x_0\). Using the initial value \((x_0 , y_0)\), we can get \((x_1 , y_1)\) by the Euler’s method: \[ y_1 = y_0 + \Delta x \cdot f ( x_0 , y_0 ). \] (이 식은 \((*)\)에 \(dx\)를 양변에 곱함으로서 얻는 \(dy=dx\cdot f(x,y)\)를 통해 얻을 수 있다)
The point \((x_1 , y_1)\) then becomes the new initial value, and we get the \((x_2 , y_2)\) by the Euler’s method again, along a newly determined tangent line with slope given by \(f(x_1, y_1)\). For small enough \(\Delta x\), the numerical solution converges to the exact solution.
즉, 만약 1차 미분방정식\((dy/dx)\)을 안다면 그를 통해 \(y=y(x)\)를 오일러의 방법을 이용하여 점진적으로 (numerically) approximate해낼 수 있다.
추가로 여기서 \(y\)는 response variable이고 \(x\)는 explanatory variable이므로 linear regression의 상황과 일치한다. 그러므로, 우리가 regression에서의 coefficient를 추정하며 model을 approximate할 때, model에 대한 score function과 어떤 initial value를 알고 있다면, 오일러의 방법을 이용하여 model을 approximate할 수 있다.
A first-order differential equation is separable if it can be written by \[ g(y)\frac{dy}{dx}=f(x) \iff \frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)}, \tag{$**$} \] where the function \(g(y)\) is independent of \(x\), and the function \(f(x)\) is independent of \(y\).