Theorem
Suppose \(Y \sim N_n(\mu, V)\).
If \(A_1,A_2, \ldots, A_k\) are \(n\times n\) symmetric matrices satisfying \(A_i V A_j=0\) for \(i \ne j\), then the quadratic forms \(Y'A_1Y,\ldots,Y'A_kY\) are independent.
If \(A\) is symmetric \(n\times n\), \(B\) is \(m\times n\), and \(AVB'=0\). then \(Y'AY\) and \(BY\) are independent.
- 1번 증명: 주어진 조건에 의해 \(A_1Y,\ldots,A_kY\)는 독립이다. 또한 \(Y'A_iY\)는 function of \(A_iY\) which is measurable-\(\mathcal{R}^k/\mathcal{R}\)이므로 이 또한 독립이다.
- 2번 증명: 주어진 조건에 의해 \(AY,BY\)는 독립이다. (나머지는 위와 같다.)
Definition
Let \(\delta>0\), and let \(\mu\in \mathbb{R}^p\) be such that \(\delta = \frac{1}{2}||\mu||^2\). Let \(Y\sim N_p(\mu,I)\).
The noncentral chisquare distribution with noncentrality parameter \(\delta\), denoted \(\chi^2_p(\delta)\), is the distribution of \(||Y||^2\).
위 Definition을 보충설명 해준다.
Little Lemma
If \(Y_1\sim N_p(\mu_1, I),\) \(Y_2\sim N_p(\mu_2, I)\), and \(\mu_1'\mu_1=\mu_2'\mu_2\), then \(Y_1'Y_1\stackrel{\text{dist}}{=}Y_2'Y_2\).
- 이 lemma에서 중요한 것은 꼭 \(\mu_1\)과 \(\mu_2\)가 같지 않아도 \(\mu_1'\mu_1=\mu_2'\mu_2\)만 같으면 \(||Y_1||^2\)과 \(||Y_2||^2\)가 같은 chisquare 분포를 갖는다는 것이다.
위 Definition을 보충설명 해준다.
Proposition
If \(Y\sim N_n(\mu, V)\) and \(V\) is invertible, then \(Y'V^{-1}Y\sim \chi^2_n(\frac{1}{2}\mu'V^{-1}\mu)\).
- \(Z:=V^{-1/2}Y\) 라 하면 \(Y'V^{-1}Y=Z'Z\)이고, \(Z\sim N_n(V^{-1/2}\mu, I)\)이다. 즉 \(Z'Z\sim \chi^2_n(\frac{1}{2}\mu'V^{-1}\mu)\)이다.
Theorem
If \(Y\sim N_n(\mu, I)\) and P is an orthogonal projection with \(\text{rank}(P)=k\le n\), then
\(Y'PY\sim \chi^2_k(\frac{1}{2}\mu'P\mu).\)
- 증명 : \(P\)는 symmetric하기 때문에 spectral theorem에 의해 \(P=\Gamma D \Gamma'\)로 분해할 수 있다 (\(D\)는 \(k\)개의 1을 갖고 \(n-k\)개의 0을 갖는 대각 행렬). 즉, \(Y'PY=Y'\Gamma D \Gamma'Y:=Z'DZ=Z'D'DZ=||DZ||^2\), where \(Z:=\Gamma'Y\sim N_n(\Gamma'\mu=:\eta, I)\). 여기서 \(Z\)를 \(Z=\begin{pmatrix}Z_1 \\Z_2 \end{pmatrix} \sim N_n\left( \begin{pmatrix}\eta_1 \\\eta_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}I_k & 0 \\0 & I_{n-k} \end{pmatrix} \right).\)라고 하자. 그렇다면 \(DZ=Z_1\)이 되고, \(Z_1\sim N_k(\eta_1,I_k)\)이다. 즉, \(||DZ||^2=||Z_1||^2\sim \chi^2_k(\frac{1}{2}||\eta_1||^2)\)이다. 여기서, \(||\eta_1||^2= ||D\eta||^2=||\Gamma'P\Gamma\Gamma'\mu||^2=||\Gamma'P\mu||^2=||P\mu||^2=\mu'P\mu\)이다.
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