2.3. Uniform Convergence and Continuity

Lemma

Suppose that \(z_1\ldots,z_n\) are i.i.d random variables, \(\theta_0\in\Theta\), where \(\Theta\) is compact.

Suppose also that \(a(z_i,\theta)\) is continuous at each \(\theta\in \Theta\) w.p.1,

and there is \(d(z)\) with \(||a(z,\theta)||\le d(z)\) for all \(\theta\in \Theta\) where \(E(d(z))<\infty\).

Then,

1. \(E(a(Z,\theta))\) is continuous,
2. \(\sup_{\theta\in\Theta} ||n^{-1} \sum_{i=1}^n a(z_i,\theta)-E(a(Z,\theta))||\stackrel{P}\rightarrow 0\).

• 즉, \(a(z_i,\theta)\)에 대해 continuity condition과 moment existence condition이 주어진다면 \(n^{-1}\sum_{i=1}^n a(z_i,\theta)\)의 uniform convergence를 얻어낼 수 있다는 뜻이다.

• 이 두개의 condition은 매우 primitive한 조건이기 때문에 이 lemma는 매우 유용하다.

• 증명은 생략한다.

back