Theorem(Lebesgue Decomposition)

Let \(\mu\) and \(\nu\) be measures on the measurable space \((\Omega,\mathcal{F})\), and let \(\nu\) be \(\sigma\)-finite. Then, there exist unique measures \(\nu_{ac}\) and \(\nu_s\) on \((\Omega, \mathcal{F})\) satisfying \(\nu_{ac}\ll \mu\), \(\nu_s\perp \mu\), and \(\nu=\nu_{ac}+\nu_s\).



증명

\(\nu\)가 finite measure일때만 증명할 것이다.

  1. Let \[ \mathcal{C}=\{A\in \mathcal{F}:\mu(A)=0 \} \] and \[ \gamma = \sup\{\nu(A):A\in \mathcal{C}\}. \] 그렇다면 \(\gamma\)는 finite이고 (\(\nu\): finite measure), there exist \(A_1,A_2,\ldots\in \mathcal{C}\) satisfying \(\nu(A_n)\rightarrow \gamma\) as \(n\rightarrow \infty\)(finite 하기 때문에 수렴하는 sequence of sets가 존재한다).

    여기서 \(A=\cup_nA_n\)이라고 하자. 당연히 \(C\)는 closed under the formation of countable unions하고(subadditivity), 때문에 \(A\in \mathcal{C}\)이다.

    때문에, \(\gamma\ge \nu(A)\le \nu(A_n)\rightarrow \gamma\)이고, \(\nu(A)=\gamma\)이다.

    여기서 for every \(C\in\mathcal{C}\)에 대해 \(\nu(C\cap A^c)=0\)이다. 왜냐하면 만약 \(\nu(C\cap A^c)>0\)이라면, \(A\cup C\in \mathcal{C}\)이고, 따라서 \[ \nu(A\cup C)= \nu(A)+\nu(C\cap A^c)>\nu(A)=\gamma, \] 라서 모순이다. 즉, \(\nu(C\cap A^c)=0\) for \(C\in \mathcal{C}\)이다.

    여기서 \(E\in \mathcal{F}\)에 대해 \(\nu_s(E)=\nu(E\cap A)\), \(\nu_{ac}=\nu(E\cap A^c)\)라고 정의하자.



  1. 만약 \(\mu(E)=0\)이라면, \(E\in \mathcal{C}\)이고, 때문에 바로 위의 결과에 의해 \(\nu(E\cap A^c)=\nu_{ac}=0\)이다. \(\implies\nu_{ac}\ll \mu\).

  2. 또한 \(A\in \mathcal{C}\) 이기 때문에 \(\mu(A)=0\)이고, \(\nu_s(A^c)= \nu(A^c\cap A)=0\)이다. \(\implies \nu_s\perp\mu\).

  3. 마지막으로 당연히 \(\nu(E)=\nu_{ac}(E)+\nu_s(E)\) for \(E\in \mathcal{F}\)이다.



  • 정리하자면 우리는 주어진 measurable space의 두 measure \(\mu\), \(\nu\)에 대해 \(\nu\)를

  1. \(\mu\)에 absolutely continuous한 \(\nu_{ac}\)

  2. \(\mu\)에 mutually singular한 \(\nu_{s}\)로 decompose할 수 있다(순서는 상관없음).

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