For \(0<p<\infty\), \(L^p(\Omega, \mathcal{F}, \mu)\) is defined to be the space of all measurable, extended real-valued functions \(f\) for which \(|f|^p\) is integrable, i.e., \[ L^p(\Omega,\mathcal{F},\mu)= \left\{f:\int |f|^p\mbox{ } d\mu<\infty,\mbox{ }f\mbox{ measurable} \right\}. \] When the measure space is understood, \(L^p(\Omega, \mathcal{F}, \mu)\) is often abbreviated to \(L^p\). For \(1\le p<\infty\), the \(p-\)norm of \(f\in L^p\) is given by \[ ||f||_p=\left[ \int |f|^p\mbox{ } d\mu \right]^{1/p}. \] For \(p=\infty\), the infinity norm of \(f\) is defined as \[ ||f||_\infty=\inf\left\{\alpha:\mu(\{\omega:|f(\omega)|>\alpha\})=0\right\}, \] where \(\inf\phi:=\infty\). If \(||f||_\infty<\infty\), then \(f\) is said to be essentially bounded and \(L^\infty=L^\infty(\Omega, \mathcal{F},\mu)\) is defined to be the space of all essentially bounded functions \(f\).
\(L^p\) space는 \(|f|^p\) 가 integrable한 measurable function \(f\)들의 집합체이다.
\(p\)-norm은 유한한 \(|f|^p\)의 적분값에 \(1/p\) power를 한 것이다(Standardized와 비슷한 개념이다).
Infinity norm은 \(\mu(\{\omega:|f(\omega)|>\alpha\})=0\)에 대한 \(\alpha\)의 infimum 으로 이는 \(|f|<||f||_\infty\)을 의미한다. 만약 이 infinity norm이 finite하다면, \(|f|<||f||_\infty<\infty\) a.e.이고 \(f\)가 essentially bounded 되어 있다고 한다. 또한 만약 이를 만족하는 \(\alpha\)가 없다면 \(\inf\phi=\infty\)가 되기 때문에, 만약 이 infinity norm이 존재한다면 이는 finite하고 the space는 essentially bounded이다.
If \(0\le a,b<\infty\) and \(0\le \lambda\le 1\), then \(a^\lambda b^{1-\lambda}\le \lambda a + (1-\lambda)b\), where we take \(0^0=1\).
우선 \(-\log\)는 convex function임을 기억하자.
양변에 \(-\log\)를 씌우면 증명된다.
If \(c,d\ge 0\), \(1\le p,q<\infty\), and \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\), then \[ cd\le \frac{c^p}{p}+\frac{d^q}{q}. \]
If \(f\in L^p\) and \(g\in L^q\), where \(1\le p,q\le \infty\) and \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\), then \(fg\in L^1\) and \[ ||fg||_1\le ||f||_p||g||_q \]
\(p=1\) and \(q=\infty\)일 때: \[ |fg|=|f||g|\le|f|||g||_{\infty}\implies ||fg||_1 = \int|fg|\mbox{ }d\mu \le ||g||_q\int|f|\mbox{ }d\mu=||f||_1||g||_\infty. \] (Similarly, \(p=\infty\) and \(q=1\)도 성립한다.)
\(1<p,g<\infty\)일 때: 만약 \(||f||_p=0\)이라면, \(f=0\) a.e.이다. 때문에 \(fg=0\) a.e.이다(\(||g||_p=0\)일 때도 마찬가지). 때문에 \(||f||_p,||g||_p>0\)으로 가정한다. 바로 위의 lemma에서 \(c=|f(\omega)|/||f||_p\) and \(d=|g(\omega)|/||g||_q\)를 대입하면
\[\begin{eqnarray*} cd\le \frac{c^p}{p}+\frac{d^q}{q} &\implies& \frac{|f(\omega)g(\omega)| }{||f||_p ||g||_q}\le \frac{|f(\omega)|^p}{p||f||_p^p} +\frac{|g(\omega)|^q}{q||g||_q^q}\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\forall \omega\in \Omega\\ &\stackrel{\text{Monotonicity}}\implies& \int \frac{|f(\omega)g(\omega)| }{||f||_p ||g||_q}d\mu\le\int\frac{|f(\omega)|^p}{p||f||_p^p}d\mu +\int\frac{|g(\omega)|^q}{q||g||_q^q}d\mu\\ &\implies& \frac{||fg||_1}{||f||_p ||g||_q}\le \frac{1}{p}+\frac{1}{q} =1 \\ &\implies& ||fg||_1\le ||f||_p ||g||_q. \end{eqnarray*}\]
If \(f,g\in L^2\), then \(fg\in L^1\) and \(||fg||_1\le ||f||_2||g||_2\).
For any \(a,b\ge 0\) and \(0<p<\infty\), \[ (a+b)^p\le 2^p(a^p+b^p). \]
If \(f,g\in L^p\), \(0<p\le\infty\), then \(f+g\in L^p\).
\(p=\infty\)일 때: \(|f|<||f||_\infty\) a.e. and \(|g|<||g||_\infty\) a.e.이다. 때문에 \[ |f(\omega)+g(\omega)|\stackrel{\Delta}{\le} |f(\omega)|+|g(\omega)|\le ||f||_\infty+||g||_\infty \mbox{ for }\mu\mbox{-almost all }\omega. \] 즉 모든 \(\omega\)에 대해서 \(|f+g|\)의 값이 bounded from \(||f||_\infty+||g||_\infty\)되어있다. 때문에 \(||f+g||_\infty\le||f||_\infty+||g||_\infty\)가 존재한다.
\(0<p<\infty\)일 때: 위의 lemma에 따르면 \[ |f+g|^p\stackrel{\Delta}{\le}(|f|+|g|)^p\le 2^p(|f|^p+|g|^p)\implies \int|f+g|^pd\mu\le 2^p(\int|f|^pd\mu+\int|g|^pd\mu) <\infty. \]
If \(f,g\in L^p\), \(1\le p\le \infty\), then \[ ||f+g||_p\le ||f||_p+||g||_p. \]
If \(c\in\mathbb{R}\) and \(f\in L^p\) for some \(1\le p\le \infty\), then \(cf\in L^p\) and \[ ||cf||_p=|c|||f||_p. \]
Theorem도 증명도 매우 중요하다.
For any \(\alpha>0\) \[ \mu(\{\omega:|f(\omega)|\ge \alpha \})\le \frac{1}{\alpha}\int|f|\mbox{ }d\mu. \]
증명: \[ \int |f|\mbox{ }d\mu=\int_{[|f|\ge \alpha]} |f|\mbox{ }d\mu+ \int_{[|f|< \alpha]} |f|\mbox{ }d\mu\ge \int_{[|f|\ge \alpha]} |f|\mbox{ }d\mu\ge \int_{[|f|\ge \alpha]} \alpha\mbox{ }d\mu= \alpha\mu(|f|\ge \alpha)\\ \implies \frac{1}{\alpha} \int |f|\mbox{ }d\mu\ge \mu(|f|\ge \alpha). \]
증명으로부터 아래와 같은 finer Inequality를 얻을 수 있다. \[ \int_{[|f|\ge \alpha]} |f|\mbox{ }d\mu\ge \int_{[|f|\ge \alpha]} \alpha\mbox{ }d\mu= \alpha\mu(|f|\ge \alpha)\\ \implies \mu(|f|\ge \alpha) \le \frac{1}{\alpha} \int_{[|f|\ge \alpha]} |f|\mbox{ }d\mu. \]
나중에 증명에 사용되니 참고하자.
If \(0<\alpha\le\beta\) and \(X\in L^{\beta}\), then \(X\in L^\alpha\) and \(\left\{E(|X|^\alpha) \right\}^{1/\alpha}\le \left\{E(|X|^\beta) \right\}^{1/\beta}\).
\(\alpha=\beta\)일 때 : trivial
\(0<\alpha<\beta\)일 때 : Take \(p=\beta/\alpha\), \(q=1/(1-1/p)=\beta/(\beta-\alpha)\), \(f=|X|^\alpha\), and \(g=Y\equiv 1\).
여기서 \(f=|X|^\alpha \in L^p\)이다. 왜냐하면 \(\int (|X|^\alpha)^p\mbox{ }d\mu=\int (|X|^\alpha)^\frac{\beta}{\alpha}\mbox{ }d\mu=\int |X|^{\beta}\mbox{ }d\mu<\infty\)이기 때문이다. \(g\equiv 1 \in L^q\)는 trivial하다. 또한 \(p,q \ge 1\), \(1/p+1/q=1\)이다.
그러므로, Holder’s Inequality에 의해 \[ E(|X|^\alpha)= \int|X|^\alpha d\mu= \int |fg| \mbox{ }d\mu= ||fg||_1 \le ||f||_p||g||_q=({E\left\{|X|^\alpha\right\}^p})^{1/p}= \left\{E(|X|^\beta )\right\}^{\alpha/\beta}\\ \implies \left\{E(|X|^\alpha) \right\}^{1/\alpha}\le \left\{E(|X|^\beta) \right\}^{1/\beta}. \]
매우 자주 쓰인다.
If \(f\) is convex on an interval \(I\subset \mathbb{R}\) containing the range of the random variable \(X\), and if \(X\) is integrable, then \[ f(E(X))\le E(f(X)). \]