복습
Let \(A_n,n\ge 1\) be a sequence of events in a probability space \((\Omega, \mathcal{F},P)\).
If \(\sum_{n=1}P(A_n)<\infty\), then \(P(A_n \mbox{ }\mbox{ i.o}(n))=0\).
매우 중요하다
Let \(A_n,n\ge 1\) be a sequence of independent events.
If \(\sum_{n=1}P(A_n)=\infty\), then \(P(A_n \mbox{ }\mbox{ i.o}(n))=1\).
증명 : \(P(A_n \mbox{ }\mbox{ i.o}(n))=1\)를 보이려면 \(P(A_n^c \mbox{ }\mbox{ i.o}(n))=0\)을 보이면 된다.
Recall \[ (\limsup_nA_n)^c=\liminf_n A_n^c= \cup_{n=1}^{\infty} \cap_{k=n}^\infty A_n^c. \] 때문에 모든 \(n\)에 대해 \(P(\cap_{k=n}^\infty A_n^c)\)을 보이면 된다.
\(A_n\)들이 independent하기 때문에 \(A_1^c,A_2^c \ldots\)들도 independent하다 (독립의 정의에 의해 귀납법으로 보일 수 있다). 때문에 \[\begin{eqnarray*}
P\left(\bigcap_{k=n}^{n+j}A_k^c \right)&=&\prod_{k=n}^{n+j}P(A_k^c)=\prod_{k=n}^{n+j}\left[1-P(A_k)\right]\\
&\le& \prod_{k=n}^{n+j} e^{-P(A_k)} \mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }(1-x\le e^{-x} \mbox{ }\mbox{ }\forall x\in \mathbb{R})\\
&=&\exp\left\{-\sum_{k=n}^{n+j} P(A_k) \right\}\rightarrow 0 \mbox{ }\mbox{ }\mbox{ as }j\rightarrow \infty.
\end{eqnarray*}\] But, \[
\bigcap_{k=n}^{n+j}A_k^c \downarrow \bigcap_{k=n}^{\infty}A_k^c\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ as }j\rightarrow \infty,
\] so \[
P\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k^c\right)= \lim_{j\rightarrow\infty}P\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k^c\right)=0.
\]
Let \(A_n,n\ge 1\) be independent events. Then, if \[ \sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)<\infty \mbox{ } \mbox{ } \mbox{ }\mbox{ or } \sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)=\infty, \] then, \[ P(A_n\mbox{ }\mbox{ i.o}(n))= 0 \mbox{ }\mbox{ or }\mbox{ }1, \mbox{ }\mbox{ respectively}. \]