4.5. Kolmogorov’s Zero-One Law

Definition(Tail Events)

If \(\{X_n,n\ge 1\}\) is a sequence of random variables on \((\Omega,\mathcal{F},P)\), then the tail \(\sigma\)-field determined by \(\{X_n\}\) is given by \[ \mathcal{T}=\bigcap_{n=1}^{\infty} \sigma(X_n,X_{n+1},\ldots). \]

If \(A\in \mathcal{T}\), then \(A\) is called a tail event.

• 어떤 이벤트가 finite number of random variables들에 의해 generated된 \(sigma\)-field에 의해 결정되는 것이 아니라, countable number of random variables에 의해 결정된다는 것이다. 즉 좌준수 교수님의 표현을 빌려 말하면, 저세상 끝의 random variable들로 generated된 \(\sigma\)-field에 의해 결정된다는 것이다.

Example

\(\left\{\omega\in \Omega: \sum_{n=1}^{\infty}X_n(\omega)\mbox{ converges }\right\}\in \mathcal{T}\), because \[\begin{eqnarray*} \left\{\omega\in \Omega: \sum_{n=1}^{\infty}X_n(\omega)\mbox{ converges }\right\}=\left\{\omega\in \Omega: \sum_{n=m}^{\infty}X_n(\omega)\mbox{ converges }\right\}&\in& \sigma(X_m,X_{m+1},\ldots)\mbox{ }\forall m\ge 1\\ \implies \left\{\omega\in \Omega: \sum_{n=1}^{\infty}X_n(\omega)\mbox{ converges }\right\}\in\bigcap_{m=1}^\infty \sigma(X_m,X_{m+1},\ldots). \end{eqnarray*}\]

Theorem(Kolmogorov’s Zero-One Law)

If \(\{X_n,n\ge 1\}\) is a sequence of independent random variables and \(A\) is a tail event, then either \(P(A)=0\) or \(P(A)=1\)

• 즉 tail event는 반드시 일어나거나 일어나지 않거나 둘중 하나이다.

• 때문에 Borel Zero-One Law도 \(P(A_n \mbox{ }\mbox{ i.o}(n))\)도 0또는 1인 것이다\((P(A_n \mbox{ }\mbox{ i.o}(n))=P(\limsup A_n)\)이기 때문에 이는 tail event이다\()\).

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