6.4. Convergence of Moments

이 파트는 Uniform integrability와 많이 연결된다.

Theorem

\(X_n\leadsto X\implies E[|X|]\le \liminf_n E[|X_n|].\)

• 증명 : Skorohod에 의해, \(\exists\) \(Y_n\sim X_n\), \(Y\sim X\) s.t. \(Y_n\rightarrow Y\) a.s. \(\implies\) \(|Y_n|\rightarrow|Y|\) a.s. Then, \[ E[|X|]=E[|Y|]=E[\lim_n|Y_n|]\le \liminf_nE[|Y_n|]=\liminf_nE[|X_n|]. \]

중요(Skorohod + u.i + u.i criterion)

Theorem

If \(X_n\leadsto X\) and \(\{X_n,n\ge 1\}\) is uniformly integrable, then \(X\) is integrable and \(E[X_n]\rightarrow E[X]\).

• 증명

1. \(X_n\leadsto X\)이기 때문에 Skorohod에 의해, \(\exists\) \(Y_n\sim X_n\), \(Y\sim X\) s.t. \(Y_n\rightarrow Y\) a.s.이다.

2. uniformly integrability는 marginal distribution의 특징이기 때문에 \(\{Y_n\}\)도 u.i.이다.

3. u.i.의 대체정의에 의해 \(\{Y_n\}\)이 u.i라면 \(\{Y_n\}\in L^1\)(integrable)이다.

• 즉 \(\{Y_n\}\in L^1\) and \(Y_n\rightarrow Y\implies Y_n\stackrel{\text{Pr}}\rightarrow Y\)이고 이미 \(\{Y_n\}\)이 u.i이기 때문에, Uniform Integrability Criterion\((p=1)\)에 의해

1. \(Y_n\stackrel{L^1}\rightarrow Y\)

2. \(E[|Y_n|]\rightarrow E[|Y|]\);

3. \(E[Y_n]\rightarrow E[Y]\)

• Thus, \(E[X_n]=E[Y_n]\rightarrow E[Y]=E[X]\).

Corollary

If \(X_n\leadsto X\) and if \(\sup_{n\ge 1}E\left[|X_n|^{k+\epsilon}\right]<\infty\) for some integer \(k\ge 1\), and some \(\epsilon>0\), then \(X^k\) is integrable and \(E[X_n^k]\rightarrow E[X^k]\).

1. 크리스탈 볼에 의해 \(\{X_n^k\}\) is u.i.이다.

2. 위 Theorem과 똑같이 \(Y_n\rightarrow Y\) a.s.인 \(Y_n\sim X_n^k\), \(Y\sim X^k\)가 존재 \(\implies Y_n\stackrel{\text{Pr}}\rightarrow Y\).

3. \(\{X_n^k\}\)가 u.i.이므로 \(\{Y_n\}\)도 u.i.

• 즉 \(\{Y_n\}\in L^1\)(integrable, since u.i.) and \(Y_n\stackrel{\text{Pr}}\rightarrow Y\)이고 \(\{Y_n\}\)은 u.i이기 때문에

1. \(Y_n\stackrel{L^1}\rightarrow Y\implies Y\in L^1\);

2. \(E(|Y_n|)\rightarrow E(|Y|)\);

3. \(E(Y_n)\rightarrow E(Y)\)

• 그러므로 3번 조건에 의해 \(E(X_n^k)\rightarrow E(X^k)\)이다.

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