Levy continuity theorem을 위해 필요
If \(\mu\) is a probability measure with characteristic function \(\phi\), then for any \(u>0\), \[ \frac{1}{u}\int^u_{-u}[1-\phi(t)]dt\ge \mu(\{x:|x|\ge 2/u\}). \]
중요하다
Let \(\mu_n,n\ge 1\) be probability measures with characterisric functions \(\phi_n\). Then,
\(\mu_n\leadsto \mu\iff \phi_n(t)\rightarrow \phi(t)\) for all \(t\in \mathbb{R}\) where \(\phi(t)\) is char.func of \(\mu\).
\(\phi_n(t)\rightarrow g(t)\) for all \(t\in \mathbb{R}\) and \(g\) is continuous at \(t=0\implies g\) is the characterisric function of \(\mu\), and \(\mu_n\leadsto \mu\).
\[
\phi_n(t)=\int e^{itx}\mbox{ }d\mu_n = \int \cos(tx)\mbox{ }d\mu_n + i \int \sin(tx)\mbox{ }d\mu_n \longrightarrow \int \cos(tx)\mbox{ }d\mu + i \int \sin(tx)\mbox{ }d\mu=\phi(t).
\]
2번 증명: \(t=0\)에서 연속인 \(g\)에 대해, \(\phi_n(t)\rightarrow g(t)\)라 하자. 또한 \(|1-\phi_n(t)|\le 2\)이기 때문에, 바로 위의 lemma와 bounded convergence theorem에 의해
\[
0\le \mu_n(\{x:|x|\ge 2/u\})\le \frac{1}{u}\int_{-u}^u[1-\phi_n(t)]dt\rightarrow \frac{1}{u}\int_{-u}^u[1-g(t)]dt\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ as }n\rightarrow \infty.
\] 그리고 \(g(t)\)는 \(t=0\)에서 연속이기 때문에 \(g(0)=\lim_n \phi_n(0)=1\)이다. 그렇기 때문에 \[
\frac{1}{u}\int_{-u}^u[1-g(t)]dt\rightarrow 0 \mbox{ }\mbox{ }\mbox{ as }\mbox{ }u\downarrow 0.
\] 그렇기 때문에 given \(\epsilon>0\), \(\frac{1}{u}\int_{-u}^u[1-g(t)]dt<\frac{\epsilon}{2}\)를 만족시키는 매우 작은 \(u>0\)가 존재한다. 또한 \(n\ge N\)에 대해 \(\frac{1}{u}\int_{-u}^u[1-\phi_n(t)]dt<\epsilon\)를 만족시키는 \(N>0\)이 존재한다. 그러므로 매우 작은 \(u>0\)와 \(n\ge N\)에 대해 \[
\mu_n(\{x:|x|\ge 2/u\})\le \frac{1}{u}\int_{-u}^u[1-\phi_n(t)]dt \le \frac{1}{u}\int_{-u}^u[1-g(t)]dt+\frac{\epsilon}{2}< \epsilon.
\] 여기서 \(\mathcal{M}=2/u\)라고 하자. 그렇다면 위 식은 \(\mu_n(\{x:|x|\ge \mathcal{M}\})< \epsilon\) for all \(n\ge N\)이 된다.
또한 finite collection of probability measures는 tight하기 때문에, 모든 \(\mathcal{M}\)에 대해 위 식이 성립하도록 \(\mathcal{M}\)을 매우 크게 잡는다면 \(\{\mu_n,n\ge 1\}\)은 tight하다.
Prohorov에 따라 \(\{\mu_n,n\ge 1\}\)이 tight하면, \(\mu_{n_k}\leadsto \mu\)인 subsequence of measure \(\{\mu_{n_k}\}\)가 존재한다. 그렇다면 1번 증명\((\implies)\)에 의해 아래를 만족한다 \[ \phi_{n_k}(t)\longrightarrow \phi(t)\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\forall \mbox{ }t\in \mathbb{R}. \] 또한 주어진 가정에 의해 다음을 얻는다 \[ \phi_{n_k}(t)\longrightarrow g(t)\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\forall \mbox{ }t\in \mathbb{R}. \] 때문에 \(\phi(t)=g(t)\)이고, \(g\)는 \(\mu\)의 특성함수이다. 하지만 만약 어떠한 다른 subsequence에 \(\{\mu_{n_k'},k'\ge 1\}\)대해 \(\mu_{n_k'}\leadsto \nu\)라면, 위와 똑같은 방식으로 \(\phi_\nu=g\)를 얻을 수 있다. 하지만 probability measure on \((\mathbb{R},\mathcal{R})\)은 characteristic function에 의해 unique하게 determine되므로 \(\nu=\mu\)이다. 때문에 모든 subsequence가 동일한 measure로 weakly converge하고, Prohorov Theorem에 의해 \(\mu_n\leadsto \mu\)이다.
매우 중요하고 자주 출제되는 내용이다.
Suppose that \(g(t)=\lim_{n\rightarrow \infty}\phi_n(t)\) exists for each \(t\in \mathbb{R}\), and that \(\{\mu_n,n\ge 1\}\) is tight. Then there exists a prob measure \(\mu\) s.t. \(\mu_n\leadsto \mu\) and \(\mu\) has characteristic function \(g\).
Tightness가 주어졌기 때문에 0에서 연속인 조건은 필요없다.
매우 중요한 technique이니 꼭 숙달하자.