2.3. Predictability
소챕터 2.2에서는 Martingale과 Submartingale에 대해 살펴보았다. Martingale의 condition 중 4번째인 Martingale Property의 의미는 (Condition 4.2의 의미) 결국 현재\((n)\) 갖고 있는 정보를 통해 추정하는 미래\((n+1)\)의 기대값 \(E(X_{n+1}|\mathcal{F}_n)\)은 현재의 값과 같다는 것이다, i.e., \(E(X_{n+1}|\mathcal{F}_n)=X_n\). 그런데 Submartingale은 미래에 기대되는 값이 현재보다 더 나은 상황을 의미한다. 이번 챕터에선 궁극적으로 다음 챕터에서 배울 Doob-Meyer decomposition을 위한 Predictability에 대해 알아보고 학습할 것이다.
Definition (predictability)
Let \(\{Y(t)\}\) be a family of random variables, and \(\{\mathcal{F}_t\}\) be a filtration (with the same index set). Then, “\(\{Y(t)\}\) is predictable with respect to \(\{\mathcal{F}_t\}\)” essentially means that \[
Y(t)\in \mathcal{F}_{t-}.
\]
- Predictability의 의미는 시점 \(t-\)에서 \(\epsilon\)만큼 이후(아주 조금 후)의 값은 현재의 값과 큰 차이가 나지 않게 예측이 가능하다는 의미이다. 즉 \(\mathcal{F}_{t-}\)정보가 있을 때, \(Y(t)\)는 더이상 random variable이 아니다. 아래의 Fact 1, Fact 2를 통해 충분히 보충 설명한다.
Fact 1
All left-continuous adapted processes are predictable.
- Note that this is very intuitive, given our definition.
In the case of a process in discrete time, predictability is the condition \[ Y_n\in \mathcal{F}_{n-1} \mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ for all }n. \]
즉 \(t\) 시점의 정보는 정의 \(Y(t)\in \mathcal{F}_{t-}\)에 따라 \(t-\)시점의 값으로 predict할 수 있기 때문에 이는 left continuity로 설명된다.
아래의 이미지와 같이 left-continuous한 counting process를 생각해보자. 여기서 jump가 이루어지는 시점을 \(t-\)라고 하자. 또한 현재 \(\mathcal{F}_{t-}\)까지의 정보를 우리가 갖고 있을 때(left-continuous adapted) 당연히 \(t\)시점의 값 \(Y(t)\)는 현재 주어진 정보에서 Predict하다, i.e., \(Y_n\in \mathcal{F}_{n-1}\). 때문에 All left-continuous adapted processes are predictable하다.
Fact 2
Any process that is both a martingale and is finite variation predictable must be constant
우선 이를 이해하려면 finite variation에 대한 이해가 필요하다
Definition(total variation): Suppose \(f:[0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}\). The total variation of \(f\) over the interval \([0,t]\) is defined as follows. Pick \(N\in \{1,2,\ldots\}\), make a partition (mesh), call it \(S_1,\ldots,S_N\). The total variation of \(f\) over the interval \([0,t]\) is \[V_f(t)= \sup_N \sum_i |f(S_{i+1})-f(S_{i})|. \]
즉 total varialtion이 finite일 때 우리는 finite variation이라고 한다. 아래의 그림을 참고하자. 이 그래프를 y축을 \(f(S_i)\)의 value, \(i=1,2,\ldots\), \(x\)축을 \(i=1,2,\ldots\)라고 할 때, \(f(S_1),f(S_2)\) 두 value에 대해서 생각해보자 (\(f\)는 discontinuous일 수도, 엄청 복잡한 함수일 수도 있다). variance는 0이지만 total variation은 supreme 값을 가질 때 까지 mesh를 늘려가기 때문에 0에서 0.5까지의 함수값 증가량의 절대값, 0.5에서 1까지의 함수값 감소량의 절대값을 모두 더해서 계산한다. 때문에 0이 아니다. 결국 아주 작은 interval 안에서 \(f\)가 매우 wiggly할 수도 있지만, finite한 range안에 존재한다는 의미이다. 자세하게 설명하면 다음과 같다; \[ f \in \text{BV}(0,t) \mbox{ if } V_f(s)<\infty\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ for all } s\le t \mbox{ }\mbox{ }\mbox{(BV is bounded variation)}. \] Note that
- Theorem: if \(f\in \text{BV}[0,1)\), then there exist function \(f_+\) and \(f_-\) fhat are non-decreasing s.t \(f=f_+-f_-\).
- 즉 Fact 2 Any process that is both a martingale and is finite variation predictable must be constant의 의미는 다음과 같다
Predictabilility의 정의에 의해 \(Y_t\in \mathcal{F}_{t-}\)이다. 즉 \(\mathcal{F}_{t-}\)의 정보가 given되어있을 때 \(Y_t\)는 더이상 random이 아니다 (Martingale에서는 random variable which is \(\mathcal{F}_{t-}\)-measurable).
Martingale property에 의해 \(E(Y_t|\mathcal{F}_{t-})=Y_t\)이다. 또한 \(Y_{t+}=E(Y_{t+}|\mathcal{F}_{t})=E(E(Y_{t+}|\mathcal{F}_{t})|\mathcal{F}_{t-})=E(E(Y_{t+}|\mathcal{F}_{t-})|\mathcal{F}_{t})=E(Y_t|F_{t})=Y_t\)이다. 즉, \(\epsilon\)만큼 계속 늘려나간다고 생각한다면 Martingale \((Y_t, \mathcal{F}_t)\)는 constant이다.