2.4. Doob-Meyer Decomposition

소챕터 2.3에서 Predictability에 대해 학습했다. Predictability는 결국 \(t-\)시점에서 \(t\)시점의 데이터를 예측할 수 있다는 의미이다. 즉 \(Y_t\in \mathcal{F}_{t-}\)이기 때문에 \(\mathcal{F}_{t-}\)가 given되어있을 때 \(Y_t\)는 더이상 random variable이 아니다. 또한 이와 함께 left-continuous한 adapted process들은 모두 predictable하고, martingale이면서 predictable한 process들은 constant하다는 두 가지 Fact들을 학습했다. 이를 통해 궁극적으로 이번 챕터에서는 초반부의 가장 중요한 Theorem인 Doob-Meyer Decomposition에 대해 학습할 것이다. 요약하자면 Doob-Meyer Decomposition은 미래의 결과가 현재보다 더 큰 특징을 가지는 Submartingale이 Martingale process와 어떠한 nondecreasing한 predictable function으로 decompose될 수 있음을 보여준다.

아주 중요하다

Theorem 1 (Doob-Meyer decomposition)

If \((S(t),\mathcal{F}_t)\), \(t\in [0,T]\) is a submartingale \((t<\infty)\), then it can be decomposed as \[ S(t)=M(t)+P(t) \] where \((M(t), \mathcal{F}_t)\), \(t\in [0,T]\) is a martingale, and \(P(t)\) is a nondecreasing, \(\mathcal{F}_t\)-predictable process. Moreover, this decomposition is unique.

The process \(P(t)\) is called the compensator. The proof for the case of discrete time is trivial.

• Proof for the discrete case: Suppose the submartingale is \((S_n,\mathcal{F}_n)\), \(n=1,2,\ldots\). Let \(\mathcal{F}_0\) be the trivial \(\sigma\)-field\((\mathcal{F}_0=\{\phi, \Omega\})\). Without loss of generality, assume that \(E(S_1|\mathcal{F}_0)=0\). Define \(S_0=0\) write \[\begin{eqnarray*} S_n&=&\sum_{j=1}^n(S_j-S_{j-1})\\ &=&\sum_{j=1}^n \left[(S_j-S_{j-1})-E(S_j-S_{j-1}|\mathcal{F}_{j-1})\right]+\sum_{j=1}^nE(S_j-S_{j-1}|\mathcal{F}_{j-1})\\ &=:& \sum_{j=1}^n m_j+\sum_{j=1}^np_j. \end{eqnarray*}\] Now note:
  1. \(E(m_j|\mathcal{F}_{j-1})=0\),
  2. \(p_j\in \mathcal{F}_{j-1}\) and \(p_j\ge 0\). So we let \(M_n=\sum_{j=1}^n m_j\) and \(P_n=\sum_{j=1}^n p_j\).

• 1번은 너무 당연하다 (\(m_j=S_j-S_{j-1}-E(S_j-S_{j-1}|\mathcal{F}_{j-1})\)양변에 conditional expectation을 씌우면 된다.

• 2번에 대해서는 우선 \(E(S_j|\mathcal{F}_{j-1})\ge S_{j-1}\) (Submartingale이기 때문). 또한 \(E(S_{j-1}|\mathcal{F}_{j-1})= S_{j-1}\) (random이 아니기 때문). 때문에 \(p_j=E(S_j-S_{j-1}|\mathcal{F}_{j-1})\ge 0\). 또한 \(p_j=E(S_j-S_{j-1}|\mathcal{F}_{j-1})\in \mathcal{F}_{j-1}\) by the definition of conditional expectation. 즉 \(P(t)\)는 nondecreasing하고 predictable하다.

• 중요: \(M_n=\sum_{j=1}^n m_j\) is a martingale?

  • 우리는 4번 컨디션을 확인해야 한다 (\(S_n\)이 이미 Submartingale이기 때문에 1,2,3번 조건을 이미 만족한다). Note that \[ E(m_j|\mathcal{F}_{j-1})=E(S_j-S_{j-1}-E(S_j-S_{j-1}|\mathcal{F}_{j-1}))=0. \mbox{ (1번의 내용)} \] Thus, \[ E(M_n|\mathcal{F}_{n-1})= E(m_n+M_{n-1}|\mathcal{F}_{n-1})= E(m_n|\mathcal{F}_{n-1})+M_{n-1}=M_{n-1}. \]

• Proof for the uniqueness: Heuristic하게 증명할 것이다. Suppose \(S(t)=M_1(t)+P_1(t)=M_2(t)+P_2(t)\). Then, \[ M_1(t)-M_2(t)=P_2(t)-P_1(t). \] 여기서 왼쪽은 martingale이고 오른쪽은 predictable하다. 때문에 Fact 2에 의해 \(M_1(t)-M_2(t)\)는 martingale이면서 predictable하여 constant이다. 하지만 \(P_1=0\)라고 한다면 \(P_2(t)\)는 nondecreasing이기 때문에 왼쪽이 \(M_1-M_2\)가 martingale이 되기 위해서는 \(P_2=0\)이 되어야만 한다 (by condition 4). 그렇지 않다면 \(M_1-M_2\)또는 \(M_2-M_1\)이 increasing하는 submartingale이 되기 때문이다. (done)

Remark

In continuous time, the compensator \(P(t)\) is obtained heuristically as the process whoce increments are given by \[ dP(t)= E(S(t+dt)-S(t-)|\mathcal{F}_{t-}). \]

• 위에서 \(dt\)는 아주 작은 small interval을 의미한다. 또한 \(dP(t)\)에 대해 \(\mathcal{F}_{t-}\)가 given되어있는 이유는 \(P(t)\)가 predictable하기 때문이다.

• 즉, \(P(t)\)는 submartingale \(S(t)\)의 increment를 의미한다.

• 이 정의는 앞으로 계속 쓰일 것이니 반드시 기억해야 한다.

여기선 주어진 submartingale process에서 compensator를 derivation하는 것에 대해 다룬다.

예제 1 (Poisson process)

Consider a poisson process with rate \(\lambda>0\). Let \(N(t)\) denote the number of points in the process that occur before or at time \(t\). Let \(\mathcal{F}_t=\sigma(N(s),s\le t)\). Then, \((N(t),\mathcal{F}_t)\) is (trivially) a submartingale.

Q. What is the compensator?

• 우선 Poisson process에 대한 이해가 필요하다. 아래의 그래프를 참고하자. 주어진 그래프에서의 grid처럼 현재 interval \((0,1]\) 안에서 \(n\)개의 grid point가 존재한다고 하자. 또한 위의 \((0,1]\)안의 interval \(l_1\)에서 존재하는 point들의 개수를 \(I_1\)이라고 하고 이 point들이 모두 i.i.d Bernoulli(\(p=\frac{\lambda}{n}\))을 따른다고 하자. 즉 \(I_1\sim \text{Bin}\left( m=l_1n, p=\frac{\lambda}{n}\right)\)이다 (\(m\)은 \((0,1]\)안에서의 점의 갯수(proportion)이고, \(p\)는 parameter이다). 이 때 \(I_1\)은 \(n\rightarrow\infty\)일 때 아래와 같이 수렴한다. \[\begin{eqnarray*} I_1\sim \text{Bin}\left(m=l_1n, p=\frac{\lambda}{n} \right) \stackrel{n\rightarrow\infty}\rightarrow \text{poisson}\left(mp=l_1n\frac{\lambda}{n}\right)\equiv \text{poisson}(l_1\lambda). \end{eqnarray*}\] 이를 poisson process라고 이해할 수 있다 (heuristically).

• 우선 \((N(t),\mathcal{F}_t)\)가 submartingale인지를 살펴보면, condition 1, 2은 \(\mathcal{F}_t=\sigma(N(s),s\le t)\)에 의해 만족한다. condition 3는 poisson process가 occur before or at the finite timepoint \(t\)이기 때문에 \(N(t)<\infty\) at time \(t\)이다. Condition 4에 대해서는 아래와 같다. For \(s\le t\) \[\begin{eqnarray*} E(N(t)|\mathcal{F}_s)&=& E(N(s) +N(t)-N(s)|\mathcal{F}_s) \\ &=& E(N(s)|\mathcal{F}_s) +E(N(t)-N(s)|\mathcal{F}_s) \\ &\ge& N(s) (\because E(N(t)-N(s)|\mathcal{F}_s)\ge 0). \end{eqnarray*}\]

• For compensator \(P(t)\), note that
  \[ E(N(t)-N(s)|\mathcal{F}_s)= \lambda(t-s). \] Thus, we get the compensator \(P(t)=\lambda t\), which is nondecreasing and predictable(not even random). Also, we can use the definition of the compensator in continuous time case such that \[ dP(t)=E(N(t+dt)-N(t-)|\mathcal{F}_{t-})=\lambda dt \] Thus, we have \[ P(t)=\int_{0}^t dP(t)= \int_{0}^t \lambda ds = \lambda t. \]

• Also, \(N(t)-\lambda t\) is a martingale. Note that by the memoryless property of the poisson process, \[\begin{eqnarray*} E(N(t+1)-\lambda (t+1)|\mathcal{F}_t)&=& E(N(t)-\lambda t |\mathcal{F}_t)+E(N(t+1)-N(t)-\lambda |\mathcal{F}_t)\\ &=& N(t)-\lambda t + E(N(1)-\lambda |\mathcal{F}_t) \\ &=& N(t)-\lambda t+\lambda-\lambda= N(t)-\lambda. \end{eqnarray*}\]

예제 2 (counting process, without censoring)

The counting process formed from a single, uncensored random variable. Let \(X\sim F\) where \(F(0)=0\). Initially, assume that \(F\) is absolutely continuous. Let \(\alpha\) be the hazard function and \(A\) be the cumulative hazard function. Let \[ N(t)=I(X\le t),\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ and }\mbox{ }\mbox{ } \mathcal{F}_t=\sigma(I(X\le s),s\le t). \] Then, \((N(t),\mathcal{F}_t)\) is a submartingale.

What is the compensator?

• 우선 \((N(t),\mathcal{F}_t)\)가 submartingale인지부터 확인하자. 우선 \(\mathcal{F}_t=\sigma(I(X\le s),s\le t)\)이기 때문에 \(N(t)\in \mathcal{F}_t\)이고, \({F}_s\subset\mathcal{F}_t\) for \(s\le t\)이어서 condition 1,2는 만족한다. Condition 3에 대해서는 \(N(t)=0 \mbox{ or } 1\)이기 때문에 \(\sup_{t>0} E(N(t))=1\)이므로 condition 3도 만족한다. 마지막으로 4번 condition은 \(E(N(t)-N(s)|\mathcal{F}_s)\ge 0\)이기 때문에 아래와 같이 만족한다; for \(s< t\) \[\begin{eqnarray*} E(N(t)|\mathcal{F}_s)&=&E(N(t)-N(s)+N(s)|\mathcal{F}_s)\\ &=&E(N(t)-N(s)|\mathcal{F}_s) +N(s)\ge N(s). \end{eqnarray*}\]

• Compensator: \(\Lambda(t)\)를 compensator라고 하자. 그렇다면 우선 위의 공식에 의해 아래와 같이 구할 수 있다; with \(dN(t)=N(t+dt)-N(t-)\), \[ d\Lambda(t)= E(dN(t)|\mathcal{F}_{t-})=P(dN(t)=1|\mathcal{F}_{t-}). \] 이는 만약 주어진 condition처럼 \(X<t\)라면\((\mathcal{F}_{t-})\), \(t\) 이전시점에서 이미 relapsed되었기 때문에, \(d\Lambda(t)=P(dN(t)=1|\mathcal{F}_{t-})=0\)이다. 그렇다면 반대쪽 conditional expectation을 계산해보면 아래와 같다;

\[ P(dN(t)|X\ge t)=\frac{P(X\in[t,t+dt])}{P(X\ge t)}=\alpha(t)dt\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }(\mbox{by the def of }\alpha(t)). \] 즉 다음과 같이 compensator를 구할 수 있다; \[\begin{eqnarray*} d\Lambda(t)&=& I(X\ge t)\alpha(t)dt\\ \therefore\Lambda(t)&=&\int_0^t I(X\ge s)\alpha(s)ds. \end{eqnarray*}\]

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